確率ってむずかしい

14日から宝くじの販売がスタートしました。
この宝くじ発売に際して、アスコエではちょろんとこんな話が出ました。

「連番で買うのと、そうでない買い方をするのと、ホントのところはどっちの方が当選確率高いの?」

さて、こうした確率の疑問が浮かんだ時、大抵の場合は感覚でえいやっ!と結論してしまいます。
確かに、「どっちの方が確率高いの?」のような、正確な値まではいらない問題ならば、いちいち計算する必要もないように思えます。
が、しかし。残念なことに人間の感覚は、確率センスについては少々お粗末なようで、どうも感覚でえいやっ!はあまり信用できないようなのです。

例えばこんな時。
あるオモチャ工場では機械でオモチャを作っていましたが、完成品の中には1万個に1個の割合で不良品が混ざってきます。
そこで工場は不良品を取り除くために、99%の精度で不良品を見分ける検査用マシンを導入しました。
検査用マシンを動かすと、早速不良品が見つかりました。
さて、この不良品判定を受けたオモチャは本当に不良品なのでしょうか?

検査用マシンの精度が99%なのだから、不良品判定を受けたオモチャが不良品である確率は、感覚的には99%です。
でもちゃんと計算をすると、本当に不良品である確率はたったの0.98%らしいのです。(具体的な計算は一番下に)

オモチャ工場の例は「条件付き確率」というもので、「検査用マシンの精度が99%」という情報の他にもう一つ、
「機械が作ったオモチャに不良品が入っている割合は1万個に1個」という前提条件があったことがポイントです。
人間の直感は、どういうわけかこの前提条件を考えから追い出したがる傾向にあるようです。
「不良品の数がいくつだろうが、検査用マシンの精度が99%なんだから、検査結果が正しい確率も99%でしょう」
とどうしても考えてしまうわけですね。

日常の中でも、なんとなく確率を考える場面は多々あります。
しかしその計算、もしかしたら条件が抜けていて見当違いの結論になっているかもしれませんよ…。

ちなみに宝くじは連番で買うのと、そうでない買い方をするのとどっちが良いかですが、
計算の仕方がわからず、えいやっ!と「連番が良いんじゃない?」という結論になりました。

(髙岡)

【 おまけ - 不良品判定を受けたオモチャが本当に不良品である確率 】
① 機械が不良品を作る確率は「1万分の1」
② 検査用マシンが、オモチャが不良品かどうかを正しく判定する確率は「100分の99」
③ 機械が不良品を作り、さらに検査用マシンが正しく不良品判定を出す確率は
     1万の1 × 100分の99 = 100万分の99
④ 機械が正常なオモチャを作ったのに、検査用マシンが不良品判定を出す確率は
     1万分の9999 × 100分の1 = 100万分の9999
⑤ 検査用マシンが不良品判定を出す確率は、③の確率と④の確率の合計
⑥ 不良品判定を受けたオモチャが本当に不良品である確率は
     ①÷⑤ = 10098分の99 = 約0.0098

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